تکنیک‌های مدل‌سازی اجزا محدود

اهداف آموزش: با مطالعه این آموزش، مجموعه‌ای از تکنیک‌های بسیار کاربردی در مدل‌سازی اجزا محدود مسائل مختلف را فرا خواهید گرفت. همچنین قادر خواهید بود از شبکه اجزا محدود با سایز مناسب در مسئله خود استفاده کنید، شرایط مرزی مناسب را بر مسئله خود اعمال کنید و با تکنیک‌هایی کاربردی هزینه محاسباتی و زمان حل مسئله خود را مدیریت کنید.

• به‌روزرسانی: این آموزش در تاریخ 19 تیر 96 به‌روز شد.

مدل‌سازی اجزا محدود پدیده‌های صنعتی و مسائل پژوهشی که در اطراف ما در حال وقوع است، یکی از جذاب‌ترین و در عین حال حساس‌ترین مباحث برای مهندسین درگیر در این حوزه به شمار می‌آید. شاید بارها این جمله معروف را شنیده باشید که اجزا محدود و نرم‌افزارهای تجاری این زمینه نظیر آباکوس یا انسیس تنها ابزاری در دستان شماست، ابزاری محاسباتی که اگر به شکل ناخواسته و یا از روی عدم آگاهی از اصول و قواعد مدل‌سازی، ورودی‌های نامناسب به آن تحویل دهید نباید انتظار یک پاسخ و خروجی معقول از مجموعه داشته باشید.

با این مقدمه ممکن است این سؤال در ذهن شما شکل گرفته باشد که آیا خطوط راهنما و قواعد کلی برای سنجش صحت مدل‌سازی و یا بالا بردن کیفیت مدل‌سازی اجزا محدود در آباکوس و سایر نرم‌افزارهای تخصصی این حوزه وجود دارد؟ چگونه می‌توان کیفیت یک شبیه‌سازی را تا حد امکان بالا برد؟ چگونه می‌توان نتایج قابل اعتمادتری در مدل‌سازی تولید کرد و در نهایت چگونه می‌توان سطح خود را از یک کاربر ساده آباکوس به یک کارشناس خبره و صاحب نظر در این نرم‌افزار ارتقا داد؟ در این آموزش قصد داریم شما همراهان گرامی را با مجموعه تکنیک‌های مدل‌سازی اجزا محدود آشنا کنیم تا گامی ولو کوچک در راستای بهبود سطح مدل‌سازی اجزا محدود شما عزیزان برداریم. با ما همراه باشید.

تکنیک‌های هندسه در مدل‌سازی اجزا محدود

یکی از سؤالاتی که همواره ذهن کاربران را به خود مشغول می‌کند سایز شبکه اجزاء محدود مناسب برای مدل‌سازی یک مسئله است. بدون شک شما همراهان گرامی می‌دانید که هزینه محاسباتی، زمان و دقت نتایج خروجی از حل یک مسئله به شکل مستقیم وابسته به سایز شبکه اجزا محدود است. شاید بتوان ایجاد تعادل بین فاکتورهای بالا را از مهم‌ترین مواردی دانست که یک کاربر با آن دست و پنجه نرم می‌کند. در بسیاری از مواقع سایز شبکه درشت نتایج نامناسبی به کاربر می‌دهد و از سوی دیگر با ریز کردن سایز المان‌ها زمان حل مسئله به شکل چشمگیر افزایش می‌یابد. این جمله معروف که ” از مش ریزتری برای مدل استفاده کن ! ” به آفت مدل‌سازی اجزای محدود در کاربران تازه وارد تبدیل شده است.

کاربر تنها با شنیدن این جمله فکر می‌کند هر چقدر سایز مش را در تمام نقاط مدل به شکل یکنواخت و یکپارچه کاهش دهد به سوی دقت بالاتر قدم بر می‌دارد؛ اما به راستی استفاده از یک شبکه کاملاً یک اندازه و ریز در مدل‌سازی ضروری است؟ آیا ضروری است در همه نقاط قطعه از یک مش ریز استفاده کرد و زمان حل را تصاعدی افزایش داد؟ چرا نقاطی از قطعه که حساسیت خاصی در تحلیل ندارند باید از یک شبکه بسیار ریز استفاده کنند؟ پاسخ تمامی سؤالات بالا را کاربر به مرور و با افزایش مهارت و تجربه در حل مسئله بدست می‌آورد اما راهنمای تصویری زیر به شما نشان می‌دهد مواردی مانند وجود ترک در قطعه، نقاط دارای تمرکز تنش، گوشه‌های داخلی، نقاط تمرکز بار و برخورد، نقاط اتصال دو قطعه، محل‌های اتصال دو قطعه با ضخامت متفاوت و سطوح مشترک یا Interface دو ماده کاندیداهای اصلی در استفاده از سایز شبکه ریزتر هستند.

بدیهی است اگر در مسئله خود با یکی از موارد بالا مواجه هستید و قصد دارید کیفیت شبکه اجزا محدود را افزایش دهید، نیازی به ریزکردن مش در نقاط غیر حساس ندارید. استفاده از یک سایز شبکه معقول در سایر نقاط و ریزکردن المان‌ها در نقاط مشخص شده می‌تواند در کنار افزایش کیفیت مدل‌سازی، زمان حل مسئله شما را به شکل چشمگیری کاهش دهد.

یکی دیگر از نکات مهم در بحث تکنیک‌های هندسه، ساده‌سازی‌های مناسب در مدل‌سازی مسئله است. همه شما عزیزان به این موضوع واقف هستید که هیچ مسئله دو یا یک‌بُعدی در عالم واقعیت وجود ندارد. اما تحت شرایطی خاص مانند مسائل تنش صفحه‌ای/کرنش صفحه‌ای و با بررسی دقیق جوانب موضوع در واقعیت، می‌توان از یک مدل ساده شده استفاده کرد. این موضوع به شما کمک می‌کند زمان حل مسئله را به شکل چشمگیری کاهش دهید و در عین حال نگرش مهندسی خود را به اثبات برسانید. استفاده از مدل‌های یک/دو بعدی مش‌زنی مسئله را به مراتب راحت‌تر کرده و بدون وارد کردن خطای محسوس، هزینه محاسباتی را به شدت کاهش می‌دهد.

تکنیک‌های مش‌بندی در مدل‌سازی اجزا محدود

پس از فراگیری نکاتی در خصوص لزوم ریز شدن مش تنها در نقاط ضروری و کمک به ساده‌سازی مدل اجزا محدود، ضروری است کاربر از با کیفیت بودن شبکه اجزا محدود مسئله خود در ابتدای حل اطمینان یابد تا احیاناً پس از صرف هزینه و وقت بالا در طول پروسه تحلیل، با خطاهای شبکه و خروج مسئله از حل مواجه نشود. برای مثال چنانچه از المان‌های چهارضلعی در تحلیل خود استفاده می‌کنید با رعایت نسبت منظری یا Aspect Ratio ذکر شده در شکل زیر می‌توانید کیفیت شبکه را در مدل خود افزایش دهید.

هنر شما به‌عنوان یک کاربر اجزا محدود این است که تا حد امکان استفاده از المان‌های با هندسه نامناسب را از تحلیل خود حذف کنید؛ چرا که استفاده از این المان‌ها در مسائلی که خود با تغییر شکل‌های بزرگ همراهند (نظیر مسائل شکل‌دهی و برخورد در آباکوس) می‌تواند هندسه ثانویه بسیار نامناسبی از قطعه ایجاد کند (در طول تحلیل) که بدون شک همگرایی حل در آباکوس را با چالش‌های اساسی روبرو می‌کند (دلایل محاسباتی این موضوع را می‌توانید در مراجع مربوطه دنبال کنید).

یکی دیگر از نکات مهم در حوزه مش‌زنی اجزا محدود این است که المان‌ها نباید سطح مشترک مربوط به دو متریال مختلف را قطع کنند. به‌عبارت بهتر ضروری است در سطح مشترک بین دو ماده در یک مدل هندسی (محل تقاطع فیزیکی) المان‌ها تفکیک شوند و یک المان به شکل مشترک در هر دو بخش حضور نداشته باشد.

تکنیک‌های شرایط مرزی در اجزا محدود

یکی از مهم‌ترین نکاتی که کاربران در مدل‌سازی اجزا محدود مسئله خود با آن روبرو می‌شوند بحث شرایط مرزی حاکم بر مسئله اجزا محدود و اعمال صحیح آن به مدل هندسی است. به شکل کلی شرایط مرزی حاکم بر یک مسئله در دو گروه شرایط مرزی ضروری و شرایط مرزی طبیعی جای می‌گیرد. چنانچه یک شرط مرزی به شکل مستقیم یک یا چند درجه آزادی را درگیر کند، یک شرط مرزی ضروری نامیده می‌شود و در معادلات اجزا محدود (Ku=f) در سمت چپ معادله ظاهر می‌شود. در غیر اینصورت، شرط مرزی از نوع طبیعی بوده و در سمت راست معادله فوق خود را نشان می‌دهد.

در مسائل حوزه مکانیک، شرایط مرزی ضروری گروهی خواهند بود که جابجایی‌ها را درگیر می‌کنند. شاید بتوان شرایط تکیه‌گاهی در مسائل تحلیل خرپا را از ساده‌ترین مثال‌های این حوزه به شمار آورد. اما در عمل موارد بسیاری وجود دارد که یک مهندس سازه باید با آن آشنایی داشته باشد. (شرایط مرزی در مسائل سازه)

• اتصال به زمین یا قیود تکیه‌گاهی: به شکل مستقیم از حرکت جسم صلب سازه جلوگیری می‌کند.
• شرایط تقارن: جهت اعمال قید تقارن به سازه در حال تحلیل و کاهش زمان حل مؤثر خواهد بود.
• قیود اتصال: چنانچه قصد دارید پس از یک تحلیل سازه‌ای گسترده، مطالعات خود را روی بخش خاصی متمرکز کنید و با جزئیات بیشتر به تحلیل نقاط حساس بپردازید باید در اعمال شرایط مرزی ضروری بر روی سازه جدید نهایت دقت را داشته باشید.

فراموش نکنید شرایط مرزی ضروری نسبت به شرایط مرزی طبیعی در اولویت قرار دارند. برای به خاطر سپردن نوع شرط مرزی کافیست این جمله را به خاطر بسپارید: اگر شرط مرزی به شکل مستقیم درجه آزادی گره را تحت تأثیر قرار داد (مانند جابجایی یا چرخش)، شرط مرزی ضروری است؛ در غیر اینصورت با شرط مرزی طبیعی روبرو هستید!

خطاهای عددی در حل اجزا محدود

در ابتدای این بخش باید این نکته را متذکر شویم که خطا مفهومی کاملاً متفاوت از اشتباهات مدل‌سازی یا حل دارد. مواردی نظیر خطاهای مدل‌سازی که در اثر تشخیص نادرست نوع سازه (تیر، ورق، خرپا، تئوری‌ها و . . .) رخ می‌دهد، خطاهای مربوط به گسسته‌سازی (مش‌زنی و . . .) و خطاهای مربوط به حل عددی معادلات اجزا محدود، همه و همه در گروه خطاهای شبیه‌سازی قرار می‌گیرند و ذاتاً با اشتباهات مدل‌سازی  اجزا محدود متفاوت هستند. برای درک بهتر موضوع مثال ساده زیر را در نظر بگیرید. فرض کنید قصد داریم در مجموعه مکانیکی زیر رفتار جابجایی سازه در اثر اعمال نیروی مشخص شده را بدست آوریم.

معادلات اجزا محدود سازه فوق به شکل زیر خواهد بود:

به‌وضوح چنانچه سحتی فنر شماره 2 در مقایسه با سختی فنر شماره 1 مقدار کوچک‌تری داشته باشد، سیستم منفرد خواهد شد (مقدار عددی دترمینان ماتریس سختی از حاصلضرب مقدار سختی دو فنر منتج شده است).

از نمودارهای فوق می‌توان این‌گونه استنباط کرد که وجود اختلاف محسوس در سختی بخش‌های مختلف سازه می‌تواند موجب ill-conditioning در معادلات اجزا محدود سازه شده و خطاهای بزرگی در حل پدید آورد. این موضوع سبب می‌شود تا با کوچک‌ترین خطا در ورودی‌های مسئله، نتایج دچار اختلافات فاحش شوند. پس سعی کنید حتی‌الامکان یکپارچگی بین خواص مکانیکی و سختی سازه در مسائل مختلف را بدون دلیل برهم نزنید.

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک