در سلسله مباحث آموزش اجزای محدود، نحوه استخراج ماتریس سختی یک المان میله در حالت دو بعدی و همچنین نحوه مونتاژ ماتریس سختی در یک مجموعه متشکل از چند المان (اینجا: ماتریس سختی المان میله دو‌بعدی، مونتاژ ماتریس سختی در اجزاء محدود) را مورد بررسی قرار دادیم. اما چنانچه با دقت نظر بیشتری به مسائل طرح شده بنگرید متوجه خواهید شد که اثر نیروهای اولیه در تحلیل سازه لحاظ نشده است. از اینرو با هدف تکمیل آموزشهای اجزای محدود، تصمیم گرفتیم تا به بررسی تاثیر نیروهای اولیه بر معادلات استخراج شده در یک المان میله بپردازیم.
انواع نیروهای اولیه
بدون شک شما همراهان گرامی در دروسی نظیر مقاومت مصالح و یا طراحی اجزا به تحلیل مسائل ترمومکانیکی پرداختهاید. مسائل ترکیبی مکانیک و حرارت را شاید بتوان یکی از آشناترین و در عین حال متداول‌ترین موضوعات در اجزای محدود و حوزه نیروهای اولیه بهشمار آورد. نیروهای اولیه در یک سازه میتوانند به صورت کرنش اولیه و یا تنش اولیه به سازه اعمال شوند و برای تحلیل آن سازه باید در نظر گرفته شوند. اثرات ترمومکانیکی، تأثیر رطوبت بر سازه، اثرات پیش‌تنش و همچنین تنشهای پسماند از متداول‌ترین موارد در این زمینه محسوب میشوند. در ادامه به بررسی تآثیر نیروهای ترمومکانیکی بر معادلات المان میله خواهیم پرداخت.
نیروهای اولیه ترمومکانیکی در میله
اکنون که با نحوه استخراج ماتریس سختی در یک المان میله آشنا شدهاید (محاسبه ماتریس سختی المان میله) میدانید که میله در اثر اعمال بار مکانیکی، تغییر طولی معادل dm خواهد داشت. حال مطابق شکل زیر فرض کنید که علاوه بر نیروی محوری وارد بر میله، تغییر دمایی به اندازه TΔ نیز بر سازه اعمال شده است.
همانطور که مشاهده میکنید، کرنش ایجاد شده در میله، میتواند به دو قسمت مکانیکی و حرارتی تفکیک شود؛ بخش مکانیکی ناشی از اثرات نیروی محوری وارد بر سازه بوده و تغییر دما به میزان مشخص سبب ایجاد کرنش حرارتی در میله شده است. لذا بر اساس روابط مقاومت مصالح، داریم:
که در آن، نیروی F از رابطه زیر قابل استخراج است:
در گام بعد باید نیروهای اولیه موجود در مسئله را وارد معادلات تعادل نیرویی سازه کرد، در نتیجه:
که نیروی ناشی از بارگذاری حرارتی در این معادله، از رابطه زیر قابل استخراج خواهد بود:
لذا :
دو قانون کلی مونتاژ ماتریس سختی
حال، دو قانون اصلی مونتاژ با در نظر گرفتن اثرات ترمومکانیکی را مرور میکنیم:
- اصل سازگاری: جابجایی نقطه اتصال (یا همان مفصل) در تمامی اعضای متصل شده به آن مفصل باید یکسان باشد.
- اصل تعادل: مجموع نیروهای مؤثر تحمل شده توسط اعضا در نقطه اتصال به یکدیگر باید با نیروی خارجی وارد بر مفصل موردنظر برابر باشد.
واضح است که اصل سازگاری حتی در حضور اثرات حرارتی بدون هیچگونه تغییری باید بکار گرفته شود اما برای در نظر گرفتن اصل تعادل در حضور اثرات ترمومکانیکی، باید نیروهای حرارتی را Globalize کرده و در حین فرآیند تجمیع، به نیروهای مکانیکی افزود؛ یعنی :
با حل معادله فوق برای جابجایی گرهای (u) و بازنویسی آن خواهیم داشت:
- ◄ اطلاعات بیشتر در:
- Lecture Notes in NONLINEAR FINITE ELEMENT METHODS, Carlos A. Felippa, University of Colorado, 1999.
منبع : آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک
