ماتریس سختی المان میله دو‌بعدی

در سلسله آموزش‎های اجزاء محدود، به معرفی المان میله و استخراج روابط حاکم بر ماتریس سختی آن در یک بعد پرداختیم (اینجا: محاسبه ماتریس سختی المان میله در فضای یک بُعدی). همچنین، در آموزشی دیگر نحوه مونتاژ یا توسیع (Enlarging) ماتریس سختی المان میله (در یک بعد) را خدمت شما همراهان گرامی تشریح کردیم (اینجا: مونتاژ ماتریس سختی در اجزاء محدود). با توجه به استقبال شما و درخواست ارائه مباحث اجزای محدود، تصمیم گرفتیم تا بحث پیشین خود را برای المان میله تکمیل نماییم. از این‌رو امروز قصد داریم تا به معرفی المان میله در حالت کلی (دو و سه بعدی) بپردازیم و با نحوه استخراج ماتریس سختی آن آشنا شویم. به شما علاقمندان مبحث اجزای محدود توصیه می‌‎کنیم این آموزش کاربردی را از دست ندهید. با ما در آموزش “استخراج ماتریس سختی المان میله در فضای دو و سه‌بُعدی” همراه باشید.

المان میله‎ای دو بعدی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.

چنانچه بخواهیم معادله مربوط به بردار جابجایی u از المان میله مورد نظر را بر اساس بردارهای یکه محورهای مختصاتی بنویسیم، خواهیم داشت:

چنانچه بحث انتقال یک بردار از یک دستگاه مختصات به دستگاه دیگر را فراموش نکرده باشید به یاد دارید که:

در ادامه،

بر همین اساس، بردار u نشان داده شده بر روی المان میله (که معرف بردار جابجایی است) را می‎توانیم به شکل زیر تجزیه نماییم:

و در شکل ماتریسی:

با تعریف cos (θ) = l و sin (θ) = m داریم (θ نشان‌دهنده زاویه المان میله با محور افقی است):

ماتریس نشان داده شده در شکل فوق را که به کمک آن می‎توانیم به انتقال یک بردار از دستگاهی به دستگاه دیگر بپردازیم، ماتریس انتقال یا Transformation Matrix می‎نامیم.

حال چنانچه روش فوق را به دو گره از المان میله مورد نظر تعمیم دهیم، خواهیم داشت:

در واقع :

در گام بعد، معادلات تعادل را در دستگاه محلی جدید (با چرخش به میزان θ نسبت به محورهای اصلی) می‎نویسیم:

و به کمک توسیع یا افزودن ابعاد ماتریس،

با ترکیب روابط فوق و استفاده از انتقال یک بردار به یک دستگاه مختصات متفاوت، داریم:

حال، می‎توان نتیجه گرفت ماتریس سختی یک میله دو بعدی از رابطه زیر قابل محاسبه خواهد بود:

به روش مشابه قادر خواهید بود تا ماتریس سختی یک المان میله سه بُعدی را نیز استخراج کنید. همچنین با مطالعه آموزش‎های پیشین می‎توانید نحوه مونتاژ ماتریس سختی در خصوص المان‎های دو / سُه‌بعدی را فرا گیرید.

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک