مونتاژ ماتریس سختی در اجزاء محدود

پیش‎تر و در سلسله آموزش‎ روش اجزاء محدود، با ماتریس سختی، روش استخراج و مفهوم درایه‌های آن در المان میله آشنا شدید (اینجا: محاسبه ماتریس سختی المان میله). بر اساس قولی که به شما همراهان گرامی دادیم تصمیم گرفتیم تا روش مونتاژ (با نام‎های اسمبل و توسیع (Enlarging) هم شناخته می‎شود) ماتریس سختی در یک مجموعه چند المانی را برای شما آماده کنیم. با ما در آموزش مونتاژ ماتریس سختی همراه باشید.

از آن‎جایی که فنرها از نقطه نظر معادلات فیزیکی نیرو – جابجایی ساده‎ترین عضو در اجزای محدود و مکانیک به‎شمار می‎روند و از قابلیت فهم بالاتری برخوردارند بسیار مورد توجه مؤلفین قرار می‎گیرند. در واقع همواره سعی بر این بوده تا مفاهیمی نظیر ماتریس سختی، روابط نیرو – جابجایی و … به کمک این عضو مفید مورد بررسی قرار گیرد. لذا ما نیز در این آموزش تصمیم گرفتیم مفاهیم پایه را به کمک درک روابط نیرو – جابجایی در فنرها را برای شما بیان کنیم. پیشنهاد می‎کنم قبل از ورود به بحث امروز، نگاهی اجمالی به معادلات حاکم بر اجزای محدود داشته باشید ( این آموزش را مطالعه کنید: روش حل Explicit و Implicit).

بسیار خب ! فنری مانند شکل زیر در نظر بگیرید که در آن k بیانگر سختی و u و f نیز به ترتیب معرف جابجایی و نیرو در یک گره خاص هستند.

اگر معادلات تعادل نیرویی در نقاط i و j  از فنر فوق را بنویسیبم، خواهیم داشت:

و در شکل ماتریسی :

حال کمی فراتر رفته و برای آموزش نحوه مونتاژ، مطابق شکل زیر از دو فنر استفاده می‎کنیم.

مطابق روش فوق برای هر کدام از دو المان فنر موجود در شکل فوق، معادله تعادل نیرویی را در قالب ماتریسی می‎نویسیم:

زیرنویس موجود در نیروی داخلی f بیانگر شماره گره و بالانویس آن نشان‌دهنده شماره المانی است که نیرو از آن وارد می‎شود. در گام بعد معادله تعادل نیرو در هر سه گره موجود را می‎نویسیم :

و یا در فرم ماتریسی:

همانطور که ملاحظه می‎کنید در ماتریس سختی نهایی، اثرات مونتاژ یا اسمبل کردن دو عضو خود را در درایه k₂₂ نشان داده است. این موضوع از نقطه نظر فیزیکی هم قابل پیش‎بینی است. در واقع از آن‎جایی که دو فنر در گره شماره 2 به یکدیگر متصلند انتظار داریم تأثیر این همبستگی را در درایه مربوطه ماتریس سختی نهایی ببینیم. به دیگر بیان:

حال به کمک اصل برهم‎نهی یا Superposition در دو معادله ماتریسی فوق داریم:

به کمک اصول و گام‎های عنوان شده در این آموزش قادر خواهید بود تا تأثیر المان‎ها بر یکدیگر، تأثیر افزایش تعداد المان بر ابعاد ماتریس سختی، مفهوم گره و … را به خوبی درک کنید. امیدواریم به کمک این آموزش بتوانید گامی استوار در ادامه مسیر اجزای محدود بردارید.

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک