المان مربعی خطی : دستگاه مختصات طبیعی

حتماً شما همراهان گرامی به‌خاطر دارید که در مجموعه پست‌های پیشین از بحث اجزاء محدود، به معرفی المان‌های مربعی خطی و نحوه استخراج ماتریس سختی در این المان‌ها پرداختیم (آشنایی با المان مربعی خطی). با هدف تکمیل آموزش‌ها در این حوزه و در ادامه مجموعه آموزش‌های FEM تصمیم گرفتیم شما عزیزان را با فرمول‌بندی و اصول حاکم بر المان مربعی خطی در دستگاه مختصات طبیعی آشنا کنیم. ما را در این آموزش اجزا محدود همراهی کنید.

یادآوری: آشنایی با مختصات طبیعی در اجزاء محدود

همانطور که پیش‌تر و در معرفی المان‌های مثلثی خطی نیز اشاره کرده بودیم، پایه و اساس تعریف یک سیستم مختصات طبیعی بر هندسه المان استوار بوده و هدف اصلی در استفاده از این دستگاه مختصات، تعریف مکان هندسی نقاط داخل المان بر اساس مختصات و موقعیت گره‌های آن المان است. در واقع می‌توان استفاده از دستگاه مختصات طبیعی در محاسبات مربوط به یک المان مربعی خطی را به منزله یک نگاشت از فضای دلخواه به فضایی دانست که هر مختصاتی در آن به بازه -1 تا 1 محدود می‌شود. استفاده از این دستگاه مختصات موجب سهولت در انتگرال‌گیری عددی و در نتیجه افزایش سرعت حل مسئله می‌گردد.

توابع شکل المان مربعی خطی در دستگاه مختصات طبیعی

همانطور که پیش‌تر و در معرفی المان مثلثی خطی نیز اشاره کردیم، مختصات طبیعی یک نقطه از المان دلخواه به شکل زوج مرتب (ξ, η) تعریف می‌شود. با توجه به توضیحات فوق مبنی بر محدود بودن بازه مختصات بین صفر و یک خواهیم داشت:

مطابق اصول حاکم در روش اجزا محدود، جابجایی در گره‌های المان به‌صورت زیر قابل استخراج است:

که در آن، N_i توابع شکل المان مربعی خطی در دستگاه مختصات طبیعی بوده و برابر با مقادیر زیر است:

به‌عبارت دیگر؛

انتقال از دستگاه مختصات (x,y) به دستگاه مختصات طبیعی

حال که با توابع شکل مربوط به المان مربعی خطی در سیستم مختصات طبیعی آشنا شدیم، قصد داریم تا اصول حاکم بر انتقال از دستگاه مختصات Global یا (x,y) به دستگاه مختصات طبیعی را مورد بررسی قرار دهیم. مطابق تصویر زیر، در نگاشت از مختصات اصلی به مختصات طبیعی داریم:

در نتیجه :

به دیگر بیان، برای نگاشت در مختصات هر گره داریم:

نکات مهم المان مربعی خطی

1. توابع شکل که برای میانیابی مختصات در این المان استفاده می‌شوند با توابع شکل بکار گرفته شده در میانیابی میدان جابجایی مشابه هستند. بر همین اساس این المان، ایزوپارامتریک نامیده می‌شود.
2. توجه داشته باشید توابع شکل استفاده شده در میانیابی مختصات و جابجایی لزوماً نباید یکسان باشند.
3. استفاده از توابع شکل متفاوت در میانیابی مختصات و میدان جابجایی به ترتیب منجر به ایجاد المان‌های ساب‌پارامتریک (subparametric) و سوپرپارامتریک (superparametric) می‌شود.

در ادامه مباحث آموزشی اجزا محدود، به روش استخراج ماتریس سختی در المان‌های ایزوپارامتریک خواهیم پرداخت.

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک