المان مربعی خطی

اگر مجموعه مطالب آموزش اجزاء محدود سایت را دنبال کرده باشید، می‎دانید که در آموزش‎های پیشین به معرفی مفاهیم پایه اجزاء محدود در مسائل دو بعدی و ضرورت بکارگیری روش اجزاء محدود در مسائل دو بعدی پرداختیم. همچنین با هدف آشنایی شما همراهان گرامی با روش اجزاء محدود در حل مسائل دو بعدی به معرفی المان‎های مثلثی خطی، المان مثلثی درجه دو و نحوه استخراج ماتریس سختی در این المان‎ها پرداختیم. امروز و در این پست از آموزش اجزاء محدود قصد داریم تا به معرفی المان مربعی خطی بپردازیم، با ویژگی‎ها و روابط حاکم بر این المان‎ها آشنا شویم و نحوه استخراج ماتریس سختی در المان مربعی خطی در دستگاه مختصات (x,y) را فراگیریم. با ما در این آموزش اجزاء محدود همراه باشید.

ویژگی‎های المان مربعی خطی

همانطور که در المان‎های مثلثی خطی اشاره کردیم، به دلیل فرمول‌بندی و روابط حاکم بر این المان‎ها کرنش بدست آمده از FEM در هر المان مقدار ثابتی دارد. اما در المان‎های مربعی خطی ماتریس کرنش، ثابت نیست و از این‎رو می‎توان گفت المان‎های مربعی خطی نمایش دقیق‎تری از میدان تنش و کرنش در اختیار تحلیل‎گر قرار می‎دهند. همچنین به‎دلیل شکل هندسی منظم و قاعده‎مند این دسته از المان‎ها، روابط حاکم بر آن از سهولت بیشتری برخوردار است.

روابط حاکم بر المان مربعی خطی

در ابتدای معرفی المان مربعی خطی توجه شما همراهان عزیز را به شکل ظاهری این المان جلب می‎کنیم.

همانطور که ملاحظه می‎کنید، المان مربعی خطی چهار گره در رئوس خود دارد که همانند المان‎های مثلثی خطی در خلاف جهت عقربه‎های ساعت شماره‎گذاری می‎شوند. هر گره دارای دو درجه آزادی (جابجایی در دو جهت x و y) است و تغییر مکان در داخل المان به صورت توابع زیر در نظر گرفته می‎شود:

که a_i در این روابط اعداد ثابتی هستند.

حال با توجه به اینکه در هر یک از گره‎های المان مربعی خطی دو درجه آزادی از جنس تغییر مکان وجود دارد، می‎توان معادلات تغییر مکان در گره‎های این المان را نوشته و با حل هشت معادله بدست آمده به شکل همزمان، مقادیر a_i  مربوطه را استخراج کرد. با جایگزینی مقادیر a_i در رابطه مربوط به تغییر مکان داخلی المان، خواهیم داشت:

که در این رابطه، تابع شکل المان مربعی خطی به‎صورت توابعی از مختصات عبارتند از:

ماتریس سختی المان مربعی خطی در دستگاه مختصات (x,y)

حال با توجه به مفاهیم پایه روش اجزاء محدود، ماتریس کرنش المان مربعی خطی به‎صورت زیر قابل استخراج خواهد بود:

در این رابطه، B ماتریس کرنش – جابجایی بوده و از رابطه زیر بدست می‎آید:

در نهایت، ماتریس سختی المان مربعی خطی از رابطه زیر بدست خواهد آمد:

همان‌گونه که در المان مثلثی به معرفی مختصات طبیعی و روابط حاکم در این دستگاه مختصات پرداختیم؛ در ادامه مباحث آموزش اجزاء محدود به معرفی روش استخراج ماتریس سختی المان‎های مربعی خطی در مختصات طبیعی خواهیم پرداخت.

استوار در سرزمین اجزاء محدود گام بردارید . . .

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک