آنالیز لاگرانژی

اهداف آموزش: در این آموزش شما با آنالیز لاگرانژی، تفاوت آنالیز لاگرانژی و اویلری، موارد استفاده از تحلیل لاگرانژی و محدودیت‌ها و مزایای آنالیز لاگرانژی آشنا خواهید شد.

در ادامه سلسله مباحث مربوط به آنالیز اجزا محدود در آباکوس، قصد داریم تا شما را با دو دیدگاه معروف در تحلیل مسائل اجزای محدود آشنا کنیم: دیدگاه لاگرانژی و دیدگاه اویلری. به دلیل جلوگیری از طولانی شدن بحث، مبحث دیدگاه اویلری را در آموزشی جداگانه تقدیم شما همراهان گرامی خواهیم کرد.

دیدگاه لاگرانژی در تحلیل اجزاء محدود

استفاده از نقطه نظر لاگرانژی در تحلیل اجزای محدود، از سابقه  پیشینه بیشتری برخوردار است. این روش تحلیل، بر پایه دیدگاه لاگرانژ در حل استوار شده است که اساس آن تعقیب مسیر حرکت ذرات می‌باشد. جالب است بدانید تمامی تحلیل‌هایی که در حیطه مکانیک جامدات تا کنون انجام داد‌ه‌اید در این دسته قرار می‌گیرد. مسائل تحلیل سازه، ارتعاشات (بدون دخیل بودن سیال)، انتقال حرارت، تحلیل خستگی و . . . از حوزه‌های متداول کاربرد این دیدگاه می‌باشند.

ویژگی‌های آنالیز لاگرانژی

در روش لاگرانژی، محیط حل (ماده) به شکل تعدادی المان تقسیم‌بندی می‌شود و ماده تنها از طریق تغییر شکل المان‌ها و شبکه‌بندی موجود دچار حرکت می‌شود، لذا شکل هندسی ماده در حین تحلیل و به تناسب بارگذاری اعمال شده، دستخوش تغییر خواهد شد. از آن‌جایی که المان‌های لاگرانژی همواره و به شکل 100% دربرگیرنده تنها یک ماده هستند (المانی با 80% ماده و دارای ظرفیت خالی وجود ندارد)، مرزهای ماده منطبق بر مرزهای المان خواهد بود.

محدودیت‌های تحلیل لاگرانژی

در مسائل دینامیکی که اغلب با تغییر شکل‌های بزرگ همراه است، استفاده از این روش نیازمند توجه ویژه است، زیرا با تغییر شکل بیش از اندازه یک المان، ژاکوبین ماتریس نگاشت منفی شده و عملا امکان ادامه حل در نرم‌افزار وجود ندارد. استفاده از تکنیک‌هایی نظیر  ALE Adaptive Meshing که ترکیبی از حل لاگرانژی و اویلری است، یکی از راه‌های مفید در راستای رفع مشکل مذکور است. در مجموعه مطالب مربوط به نظم مش‌زنی و تعداد المان‌ها در تحلیل‌های اجزای محدود، اهمیت این موضوع را یادآور شدیم.

در کنار محدودیت اشاره شده در خصوص آنالیز لاگرانژی باید این نکته را نیز اضافه کنیم که در تغییر شکل‌های به نسبت بزرگ نظیر عبور ماده از کانتینر در فرآیند اکستروژن، افزایش نسبت منظری (Aspect Ratio) المان رخ می‌دهد که خود عامل کاهش کیفیت شبکه و نیز انحراف پاسخ‌های ایجاد شده از مقادیر واقعی است. از این رو، غلبه بر این مشکل در مجموعه مسائل تغییر شکل نظیر اکستروژن و کشش عمیق اهمیت فراوان پیدا می‌کند. شاید بتوان در کنار روش ALE ، افزایش تعداد المان‌ها (در اینجا: تأثیر تعداد المان‌ها بر همگرایی جواب‌ها در آباکوس) و بالطبع افزایش زمان حل را راهکاری مفید و البته پرهزینه در این زمینه بدانیم.

تذکر: آموزش مربوط به دیدگاه اویلری را در لینک روبه‌رو مطالعه بفرمایید ⟸ آنالیز اویلری

منبع: آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک