روش حل صریح و ضمنی

اهداف آموزش: آشنایی با روش حل صریح و ضمنی در حل معادلات، معرفی اصول روش حل Explicit و Implicit ، شناخت حلگرهای Implicit و Explicit آباکوس، مزایا و محدودیت‎های روش Implicit و Explicit در آباکوس، تفاوت روش حل صریح و ضمنی

همان‌گونه که در مطالب قبلی نیز اشاره شد، روش اجزاء محدود یک روش ریاضی و عددی جهت حل معادلات دیفرانسیل است (تاریخچه اجزاء محدود). برای حل مسائل دینامیکی، دو روش در نرم‌افزارهای تحلیل مورد استفاده قرار می‌گیرد: روش Implicit یا در اصطلاح ضمنی و روش Explicit یا صریح. هریک از این روش‌ها دارای توانایی‌ها و محدودیت‌هایی هستند که در ادامه به آن‌ها اشاره خواهیم کرد. از آن‌جایی که فراگیری این بحث نیازمند اطلاعات حوزه اجزای محدود است، به شکل مختصر اشاره‌ای به آن خواهیم کرد.

واژه اجزاء محدود به زیبایی بیانگر روش مورد استفاده در نرم‌افزارهای تحلیلی این حوزه است. به‌شکل کلی پروسه حل روند زیر را طی می‌کند:

تقسیم مدل هندسی به اجزای کوچکتر (و با تعداد محدود)، محاسبه میزان تغییر شکل و جابجایی مجموعه با روابط ماتریسی، رسیدن به میزان نیرو و تنش در سازه

اصول و معادلات حاکم بر اجزاء محدود

برای سهولت موضوع ساده‌ترین عضو در علم مکانیک را به خدمت می‌گیریم: فنر ! تغییر شکل، جابجایی و نیرو از مباحثی است که به دنبال آن هستیم و فنر در عین سادگی نیاز ما را به خوبی مرتفع می‌سازد. چنانچه به فیزیک دبیرستان رجوع کنید اولین معادله در خصوص فنر را بخاطر می‌آورید (البته کمی آن‌را ارتقا می‌دهیم و در قالب ماتریسی بیان می‌کنیم):

[F]=[K].[x]

 [K] ماتریس سختی است و طبیعتاً نیرو و جابجایی نیز مفهوم ماتریسی پیدا کرده‌اند. روش حل این معادله به این صورت است:

[F]=[k].[x] → [k^-1].[F]=[k^-1].[k].[x] → [k^-1][F]=[x]

آنچه گفته شد مربوط بود به مسائل استاتیک بود که در آن‌ها زمان بی‌نهایت است. تغییرات نسبت به زمان بسیار آهسته بوده و در معادلات، زمان حذف شده است. هنگامی که زمان در معادله فنر وارد شود معادله زیر پدید خواهد آمد.

Mx”+kx=f

به چند سطر قبل بازگردید. مدل هندسی به چند بخش تقسیم شده و (در بیانی ساده جهت فهم موضوع) باید با حل معادله فوق جابجایی پیدا شود تا بعد از آن نیرو و در نتیجه تنش‌ها محاسبه گردند.

مقایسه روش Explicit و Implicit (تفاوت روش صریح و ضمنی)

بسیار خب! به سراغ بحث Explicit و Implicit بازگردیم. تفاوت میان دو روش Explicit و Implicit در روش ریاضی حل این معادله است. زمان در لحظه جاری را t و نمو زمان در حل را t∆ در نظر بگیرید. قصد نداریم تا با روابط پیچیده ریاضی شما را سردرگم کنیم زیرا بدون شک برای شما جذاب نخواهد بود، در نتیجه در چند جمله مختصر تفاوت را برایتان شرح می‌دهیم:

• در روش Implicit معادله مذکور برای زمان t+t∆ حل می‌شود، وضعیت حل در زمان t+t∆ هنوز مشخص نیست و با حدس اولیه و استفاده از روش نیوتن- رافسون برای حل معادله تا رسیدن به یک جواب همگرا، عمل حل مسئله انجام خواهد شد.
• در روش Explicit معادله مورد نظر با استفاده از مشخص بودن وضعیت جاری مسئله (در زمان t) برای زمان t+t∆ حل می‌شود، وضعیت مسئله در زمان t مشخص است و ماتریس سختی نیز در این لحظه معلوم خواهد بود. معادله مورد نظر به شکل مستقیم حل می‌شود:

k_t . ∆x=∆F

خبری از حلقه تصحیح و تکرار نیست، همگرایی جواب (که مفصلاً مورد بحث قرار خواهد گرفت) بررسی نمی‌شود و از گام‌دهی زمانی کوچک و پایدار برای حل بهره می‌برد.

حوزه کاربرد، محدودیت‌ها و نقاط قوت روش حل صریح و ضمنی در مطلبی جداگانه خدمت شما دوستان گرامی ارائه خواهد شد.

تذکر: در تاریخ 15 اسفند 94 آموزشی تحت عنوان “مقایسه Explicit و Implicit و واکاوی حوزه کاربرد آن‎ها” در سایت قرار گرفت.

علاقمندان می‌توانند از کتاب The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics ; O.C.Zienkiewicz  & R.L.Taylor; 6th Edition; Elsevier Press جهت ارتقای دانش خود در این موضوع استفاده کنند.

منبع : آکادمی نرم‌افزارهای مکانیک